Por que não podemos usar o desvio padrão global s – também conhecido como desvio padrão de longo prazo – para calcular os Limites de Controle? Esta é uma dúvida que muitas pessoas têm, principalmente aquelas que estão se familiarizando com os conceitos de Controle Estatístico de Processos (CEP). Inclusive este é um assunto que gera bastante debate  nos treinamentos de CEP que a HarboR ministra.

Como já vimos no post sobre o Segundo Fundamento dos Gráficos de Controle de Shewhart, Limites de Controle devem ser calculados com uma estatística de dispersão média¹, que são estatísticas de dispersão dentro do subgrupo (gráfico Xbarra, n>1) ou entre os valores sucessivos (gráfico IX, n=1). Esta estatística é chamada de desvio padrão de curto prazo, geralmente representado pela letra grega σ (sigma). 

Relembrando as fórmulas

O desvio padrão de curto prazo σ, é a estatística correta para o cálculo dos Limites de Controle.

Quando trabalhamos com tamanho de amostra igual a 1 (Gráfico de Controle IX-MR), ele é calculado da seguinte forma:

Já o desvio padrão de longo prazo, comumente representado pela letra s, é aquele que aprendemos nas aulas de estatística na faculdade. É calculado da seguinte forma:

Trata-se de uma medida de dispersão global.

Observe a fórmula:  todos os dados são agregados em um único grupo ao mesmo tempo através do cálculo da média aritmética de todos os valores. O uso do desvio padrão global contém a suposição implícita de que o conjunto de dados é homogêneo.

Mas podemos supor que os dados são homogêneos?

Lembre-se que o Gráfico de Controle tem por objetivo separar o que é ruído do processo (variação causada por causas aleatórias), do que é um sinal (variação causada por causas especiais). Ou seja, o objetivo é justamente detectar a ausência de homogeneidade. Por isso, não podemos usar uma medida de dispersão global ao calcular limites para um Gráfico de Controle.²

Exemplo prático

Na tabela abaixo temos dados de 25 medições de diâmetros de uma peça usinada:

Graficando esses dados, calculamos os Limites de Controle com base no desvio padrão σ (forma correta de calcular) representados pela linha verde pontilhada, e os Limites de Controle baseados no desvio padrão s (forma equivocada de calcular) representados pela linha azul contínua:

Percebam que os Limites de Controle com desvio padrão de curto prazo σ são capazes de detectar dois sinais de mudança do processo que o limites baseados no desvio padrão de longo prazo s não detectam.

Ou seja, os Limites de Controle σ podem detectar variações especiais que do ponto de vista dos Limites de Controle de desvio padrão s seriam ruídos.

Por que não usar o desvio padrão

Assim concluímos que não se deve utilizar o desvio padrão de longo prazo para o cálculos dos Limites de Controle. Ao aplicar essa medida estatística, você estaria tratando os dados como um conjunto homogêneo, quando na realidade o objetivo do Gráfico de Controle é justamente detectar a ausência de homogeneidade entre os dados.

O desvio padrão σ tende a ser menor pois seu cálculo engloba a variação entre subgrupos subsequentes, com condições mais semelhantes entre si, o que faz com que os Limites de Controle sejam mais justos. O desvio padrão s é calculado com base na distância de cada medição em relação a média global, por isso tende a ser maior, inflando os Limites de Controle.

Assim, utilizar o desvio padrão global no cálculo dos limites de controle pode fazer com que variações especiais – que merecem atenção e deveriam ser investigadas – sejam tratadas como uma variação normal do processo.

(1)Understanding Statistical Process Control – Donald J. Wheeler and David S. Chambers – 2010

(2) Twenty Things you Need to Know – Donald J. Wheeler – 2009